phpbcmath541642技巧_尝鼎一从微积分谈数学工程和科学

中国许多工程类院校的学生差不多有五分之一的学分来自数学、物理类的课程，而教这些课程的老师大部分来自数学和物理系。
这种做法大约来自传统，却割裂了工程须要的数学，使得学生难以理解数学的本色。
再加上实践中也并无太多的运用，因此反过来抱怨数学无用。

人类离不开数学，准确一点说，没有数学的文明算不得文明：该分你十斤猪肉却只给了五斤你肯干吗？历史上，几大文明古首都是数学大国，直到本日仍旧如此，可见数学的主要。
那么究竟什么是数学呢？答案一样平常会因个人理解差异而有很大的不同。
大略一点说，数学是一种人类独占的纯粹思维活动，任何其它的生物都无法产生数学。
按照马克思主义事理，没有措辞就无法思维，更不用说像数学这样的逻辑、抽象思维。
当然，人类的纯粹思维也不止数学。
唐王朝伟大的玄奘和尚到西天取经，佛经便是一种纯粹思维活动。
只不过，在人类所有的纯粹思维中，数学被证明最有用，是日然是一件神奇的事情。

历史上最初的数学紧张由工程、生产的实践来推动，但也不全然如此。
古希腊的数学从公元前600年（大约中国的春秋战国期间）开始到公元四世纪（大约中国的南北朝期间）辉煌了一千年，就很大程度上离开了运用的驱动。
直到十六世纪开普勒创造火星绕太阳运动的轨迹是椭圆，椭圆，这个被公元前二世纪古希腊数学所研究的数学工具，才有了第一次的运用。
有一则事例大约可以解释问题。
十六世纪时，意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552- 1610）来到中国，带来了伽利略等人发明的望远镜。
中国人眼睁睁地瞥见了望远镜的好处，却做不出来。
不懂圆锥曲线是无论如何都不可能做出望远镜的。
近代科技之以是提高神速，就在于工程、物理须要数学的时候，数学家早就准备好了。
范例的例子如相对论，没有黎曼创造的黎曼几何，爱因斯坦很难写出他的爱因斯坦方程。
是日然不能抬杠，微积分便是紧张由物理学家创造的数学。

不说玄乎的，我们就说微积分。
大学一年级不论工程的，还是数学系的学生都学了微积分。
微积分是发生在十七世纪的一场思想的革命，开辟了人类纯粹思维前所未有的新思维，催生了当代科技，从任何角度讲，都是一场伟大的思想革命。
微积分的代表人物是英国的牛顿(Isaac Newton， 1643-1727) 和德国的莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646-1716)。
当然绝不能说微积分便是他们二人创造的。
十七世纪的欧洲，经由十四到十六世纪文艺复兴消化古希腊的数学后，许多职业或者业余的科学家都在连续伽利略(Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei，1564-1642)、开普勒(Johannes Kepler， 1571-1630) 首创的近代科学上，磋商一系列的新问题。
数学上，紧张须要办理如下四个问题:

加上任意二字，一是解释当时目标的远大，二是为了表示和传统数学的差异。
把几何中的曲线变成数学中的函数，须要十七世纪法国哲学家、物理学家、数学家笛卡尔(Descartes， 1596-1650)引入的坐标几何才能够实现。
坐标的引入使得几何曲线变成了代数的函数，因此可以做各种代数运算。
微分也是一种对函数的运算，但这不是普通的运算，是一种旨在磋商函数无穷“局部”小性子的运算。

1. 导数是啥意思？

一样平常来说，大部分一元函数在坐标下都是曲线。
可是曲线由无穷多个点组成。
“无穷”是一个完备数学化的观点， 由于并没有人瞥见过无穷，乃至说不清楚无穷，可是当代数学却离不开无穷。
从哲学的意义上，理解微积分便是要理解无穷。
我们认为两点间的直线是有穷的东西，给定两点持续接便是了。
当然，这是指欧几里得空间中的直线。
欧几里得空间的三角形，我们可以认为就三个点，点与点之间用直线相连。
可是圆并不是有限个点之间用直线连接就可以得到的。
理论上讲，纵然有电子打算机的本日，也无法完备的画出一个圆，所有画出的图形只是有限个点，是点点之间用直线连接的图形而已。
可是数学的目标并不仅仅如此。
给定A，B之间的曲线段，我们当然只能用熟习的直线去“近似”的代替曲线，“近似”是当代数学最主要的想法之一，便是用我们熟习的去理解不熟习的。
当然这个直线不能与给定的曲线y=f(x)毫无关系。
显然，两点间这样的直线便是“割线”。
问题在于，当B沿着曲线逐步逼近A时，就产生了A点“附近”曲线的最佳逼近，特殊是退到A点时更是如此，当然，这个过程是个“无穷”的过程。
末了在A点产生的直线便是A点的切线。
切线就可以完备代替A点的曲线，普通一点讲，曲线即是“无穷多”直线。
准确地说，如果你知道了A，B之间曲线y=f(x)所有的切线(局部性子)，就等价于知道了每一点的切线的斜率f'(x)。
自然就可以完备复原曲线的全部(整体性子)：

这正是微积分的基本定理. 虽然是无比主要的结果，但一点也不奇怪。
无穷小的近间隔不雅观测你， 连你每一点几根汗毛都知道， 我能不理解你？有人总说当代科学只是还原论，但那是科学的还原论。
从整体到整体永久是糊涂的，经由还原而得到整体，才是科学的方法论。

曲线。
数学上，导数是一种对函数的无穷小运算，以是微分有时也叫无穷小剖析。
这里我们看到数学家是如何不雅观测的：由于不受物理条件的限定，他可以无限靠近的不雅观测此点的状况，数学只见告我们终极的真理。
十六世纪时，弟谷不雅观测火星绕太阳运动不雅观测了20年，得到的数据使得开普勒创造行星运动三大定律。
现在数学见告我们的是不雅观测200年，300年，直到无穷年，能看到什么? 至于能不能不雅观测这么多年，大概是工程师的事，但也不一定。

十九世纪后半叶，德国和法国进行了“普法战役”，德国胜利，得到阿尔萨斯、洛林作为割地(看来不仅是中国人割地， 法国也割过地），而这个地区盛产铁矿。
可是要炼出好的铁，须要节制熔炉中的温度。
问题是当时并没有办法量测如此的高温。
工程师也容许以不断提高温度计的水平，但科学家会在没有办法的情形下想别的招数。
由于不同温度发出的光不一样，其强度有关的波长，即光谱度量。
伟大的德国物理学家普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858-1947)由此研究“黑体辐射”(玄色物体辐射的光)产生了量子力学，并不须要直接去丈量熔炉中的温度。
这大概是科学家和工程师的差异吧。
那么（1）既然说的是无穷，而措辞是有穷的，究竟如何表达呢？数学是这样描述的：

称为

措辞。
这是十八世纪由法国数学家柯西(Augustin Louis Cauchy， 1789-1857) 严格化微积分后给出的定义，把所有当初对付微积分的疑问都子虚乌有，这当然是非常了不得的大事。
由于

措辞中并没有涌现无穷，只是一种“有限”的措辞，这是人类逻辑思维最伟大的胜利。
当然是经由无数的思想斗争才实现的，并不是一开始就如此。
中国古代最有名气的哲学家老子写了五千字的《道德经》，中国人读了几千年还没有读懂，由于他自己都没有说清楚。
例如《道德经》一开头就说：“道，可道，非常道”，啥意思呢？直接翻译大约是：“道，不能说，说出来的都不是道”。
如果用数学措辞说：“道是无穷的，而措辞是有限的，讲道的人都不懂道”。
可是微积分的

措辞把老子的话击得粉碎：有限的措辞完备可以描述无穷。

知道了一个函数的一阶、二阶导数，就基本决定了这个函数的动态特色，升降凸凹，折中旋转，乃至波折的程度(密切圆只须要二阶导数，其半径决定了曲线的波折程度）。
2. 方程的近似解

我们所处的天下绝大部分是非线性的。
导数的引入使我们能用无穷的线性代替非线性。
现在我们来求非线性方程的解:

这里的f当然是非线性的函数。
解方程和几何一样的古老。
十六世纪以前，西方的数学有两条主线。
一是几何，研究形的学问，以欧几里得为代表；另一种是代数，研究数的学问，以丢番图(Diophantus，公元3-4世纪)为代表。
历史上一元二次方程

的求解在几个古老的文明中都曾创造过。
可是一元三次方程

却难住了十六世纪以前所有文明的数学。
直到十六世纪，由意大利的塔塔里亚(Nicolo Fontana， 1449-1557 年， Tartaglia意思是“口吃者”，是他的外号)解出，现在称为卡丹(Girolamo Cardano， 1501-1576年)公式。
这是数学史上有趣的故事。
四次方程

可以化为三次方程解出，由费拉里(Ferrari Lodovico， 1522-1565)解出。
五次以上的方程先由挪威奇才阿贝尔(Niels Henrik Abel， 1802-1829年)创造一样平常并无公式解。
末了由法国的一个中学生伽罗瓦(Evariste Galois， 1811- 1832) 引入群论得到公式求解的充分必要条件，开启了当代代数理论。
后两位去世的时候只有二十几岁，是当代数学的传奇。
由此可以看到解方程的主要。
我们在引入导数往后，当然也无法求出（2）的精确解，但是为啥非要精确求解呢？数学的模型顶多是物理天下的近似。
求出近似解也是一样的。
在这个意义上，仅仅用二阶的导数，我们就可以求出一大类方程（2）的近似解。
当然，在无穷处便是精确解，这不是一样平常意义的思想革命。

作为更进一步的近似。
这个过程可以一贯进行下去，我们就得到无穷个近似的零点:

这样求出的点虽然不是真值，但近似解指数收敛到真解，以是牛顿法收敛非常的快速高效。
在无穷远点，便是真值。
这就够了，由于纵然是固定的圆周率π，由于是无理数的缘故，我们也写不出他的真值。
为求π的近似值不少人都在历史上留下名字。

3. 高阶导数的运用：泰勒展开

只须要一阶、二阶导数，就可以办理十七世纪提出的四个问题中的三个，基本能得到函数的大致变革规律，而积分则办理了第四个问题。
可以想象，如果更高阶的导数可以用，该当可以得到更多的函数信息。

微分最厉害的想法是用线性代替非线性。
不过要这样做，就必须利用“无穷”，这就带来运用上的问题。
在微分几何里，也用圆(称为密切圆)来近似曲线，由于圆虽然也是曲线，但却是最大略的曲线。
微分研究的是非常一样平常的非线性函数，自然的，如果能用一些大略的非线性函数“有限”的近似繁芜的非线性函数，也是一种特殊的想法。
在所有的非线性函数中，多项式是最大略的非线性函数。
例如，多项式无穷光滑。
伟大的高斯(Carolus Fridericus Gauss， 1777-1855)证明了代数基本定理：一个n次多项式恰好有n个零点，当然这得在复数域上。
因此利用多项式逼近一个函数的想法是自然的。

我们又一次看到数学创造的终极真理：你要达到任何精度都可以。
至于你的打算工具能不能达到? 这大概便是工程师的问题了，数学能见告的只是如果你能打算的话必须是这样的科学事理。

4. 圆周率的打算

作为泰勒级数的运用，我们谈论一个古老的问题：圆周率π的打算。
这个问题在几个古代文明中都有研究，由于圆大概是直线以外最大略、最完美的曲线。
当然紧张是运用的驱动，险些所有的车轮都做成圆形。
首先π是一个常数，它是圆的周长与直径的比。
是日然是奇妙的，由于圆有大有小。
在变革的天下中一些不变的东西总是让人着迷，π便是这样的一个事例。

下面的定理用中学的数学就可以证明。

定理4.1. 圆周率π是常数。

下面的定理用微积分就可以证明，写出来就十来行。

定理4.2. 圆周率π是无理数。

以是，π是无法得到精确值的，下面我们就来打算π的近似值，不妨用单位圆来打算。
这个问题中国人有光辉的历史。
南北朝期间的数学家祖冲之(429—500)把圆周率打算到七位的精度

打算出（14）右端任意的偏差精度。

祖冲之大名垂宇宙，可是而本年夜学学了一个学期的微积分，就高明过祖冲之不知多少。
都江堰虽然有它的上风，比得了现在的三峡大坝？--------本文完------

本文编辑：郎培华

较稿人：王丽，郎培华，冯春辉，王雅婷