php正切求角度技巧_想拿捏雨中打伞来理解光行差就够了

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为了便于理解，我们从一件司空见惯的事讲起。

很多人有这样的生活履历，在雨中打伞骑车或快步时，为了避免湿身，伞该当往前倾斜一点，就像这样。

php正切求角度技巧_想拿捏雨中打伞来理解光行差就够了

这涉及一个大略但深刻的物理问题。

（图片来自网络侵删）

说大略，大概一说你就懂。
说深刻，由于它涉及经典力学中速率的相对性问题，其根本是经典力学的时空变换假设——伽利略变换。

在地面参考系中，雨滴速率向下，如下图(b)；而在运动的人看来，雨滴速率斜向后方。
如下图(c)。

不过，从雨滴到声音，这个跨度还是有点大的！
由于前者是是做弹道运动的物体，而后者是波！
波本身不是物体，只是一种振动状态的传播。

以是，你可能会疑惑上述雨滴运动的相对性对波是否也成立？

当然是成立的，这可通过平面波来解释。

假设平面波沿竖直方向传播，而你沿水平方向相对介质运动，既然波上的某个部分——例如波峰相对介质沿竖直方向运动，那么在你看来，那些波峰又多了一个沿水平方向的分速率，其速率方向变斜了。

以是，当你盯着某个波峰看时，你将创造它走过一条斜线，而这个线便是所谓的波速的方向，也便是波线！
既然波线倾斜了，那与之垂直的面——波面也倾斜了。
因此，全体波在运动的你看来，就像整体转了一个角度啦！

以是说，无论是波，还是物体——比如粒子或流体，都存在由于不雅观察者的运动所带来的速率方向的改变。
雨滴也好，声音也好，速率都会变成斜向后方，就彷佛空气中有一种今后吹的风，正是它把雨滴或声音往向后吹斜了。

光行差的观点与公式

历史上，对光实质的认识有两派紧张不雅观点，以牛顿为代表的人支持微粒说(corpuscle model)，而以罗伯特·胡克和克里斯蒂安·惠更斯为代表的人则支持颠簸说(wave theory of light)。

如果认为光是运动的弹道粒子，那么只要按照上述雨滴的图像，就自然而然的知道，当不雅观察者相对恒星运动，且运动速率在沿他与恒星的连线的垂直方向有分量时（后面简称为横向运动），他会看到恒星光的方向发生偏转。

如果认为光是波，那么情形轻微要繁芜一点。
由于必须先为光找到一种介质，否则就无法阐明光速，而且不雅观察者的运动也不知是相对谁而言。

为理解释光波的传播机制，颠簸学说认为宇宙中存在一种看不见的介质，正是它授予了光的波速。
这种物质叫以太（aether），它与光的关系就像空气与声音的关系。

以是，若把上例中的声音换成光，则结果是类似的：在以太中向右穿行的不雅观察者，将会看到原来从头顶方向射下来的光现在斜向后下方了，就好似有一股风将光向后方吹斜了，这便是所谓的“以太风”。

这里顺便说一下，以太并不是颠簸学说的专利。
牛顿虽然坚持微粒说，但他也不排斥以太，只是他的以太并不供应波速，而是一种充满绝对空间的物质，它的密度随引力变革。
故支持微粒说的人也会常常说到以太。

总之，无论认为光是微粒还是颠簸，理论上讲，横向运动的不雅观察者都会看到光芒的方向发生偏转。

下面根据以太的颠簸不雅观点，给出这个偏转角的打算公式。

因此，以上光行差的观点和公式，既适用于光的颠簸的学说，也适用于光的微粒说。
不过从理论上讲，光行差在两种不雅观点下的含义还是有差别的，详细后面再谈论。

布拉德利的不雅观测

根据经典的光行差公式，显然，若能测出某颗被确认位于天顶的恒星的光行差角，则可得光在以太中的速率为

这便是18世纪英国物理学家詹姆斯·布拉德利（James Bradley，1693~1762）丈量光速的依据。

一开始时，布拉德利的紧张目标不是为了测光速，乃至他那时压根都不知道有光行差这件事。
由于他本人便是光行差征象的创造者。

布拉德利的事情开始于1725年。
他原来要不雅观测恒星视差（stellar parallax）。
恒星视差指的是，当从不同的位置不雅观看时，恒星位置或方向看起来会有所不同，常日用地球公转轨道半径对恒星伸开的角度作为视差，如下图所示。

可见，恒星视差与恒星像差虽仅一字之差，含义不同。
但有一点相同，它们都可以证明地球绕太阳公转的事实，即作为哥白尼的日心说的证据，而这也是布拉德利最初的研究目标之一。

如果不雅观察低空恒星，它的光是斜射下来的，比起来自高空的星光来说，这些星光在大气中经历的间隔更长，考虑到地表附近水汽和尘埃较多，星光被大量散射导致不雅观测偏差很大，为了只管即便减小这种问题的影响，应选择位于天顶的恒星来不雅观测。

布拉德利特意选择了一颗名叫γ-Draconis（简称γ-Dra，曾名Eltanin，中文名天棓四，属于天龙座，如上图所示）的二等星。
它位于北纬51°29' ，而伦敦位于北纬51°30'，以是，当它刚好扫过子午线时，恰好位于伦敦的正天顶。

布拉德利委托人设计了一台精密的望远镜，它属于天顶望远镜（zenith telescope），如下图所示，望远镜的主体是一根24.5英尺长的光学管，通过烟囱穿过屋顶。

布拉德利将望远镜安装在伦敦西南一个叫Kew的地方的一栋屋子的内墙上，这里离格林威治(Greenwich)天文台不远，笔者仔细查得这个地方的经度为-0.297954，险些便是本初子午线的位置。

该望远镜别号天顶扇区（zenith sector ），之以是叫此名，由于光学管位于当地的子午线所在竖直面内，望远镜的不雅观察的范围为子午线上空的一个小扇区。
换句话说，光学管在地面的投影与子午线平行，在东西向中庸之道的对准正上方，它的倾斜度只能沿南北向的子午线微调。

这样做的目的是，每天只不雅观察刚好抵达子午线正上方的那些星星，当那些星星被不雅观察时，都尽可能的处在天顶位置。

不雅观察者躺在屋内的沙发上，通过调节目镜不雅观察目标恒星。
目镜边的游标刻度会给出恒星在南北方向的偏角。

根据上图，由于γ-Dra在黄道面的上方略偏左的方向，从12月到第二年6月期间，地球是朝着靠近γ-Dra的方向运动的，也便是越来越靠近它的正下方，以是γ-Dra的纬度应增高——虽然很微弱。
以是，为了看到它，望远镜的管子该当不断的往北偏移。
而从第二年6月到年底，过程是反过来的——管子该当往南偏移。

交情提示：上面这个图的信息量很大，值得你仔细品鉴。

由于胡克曾在1674年给出γ-Dra的视差大约为23角秒，因此布拉德利估量γ-Dra在南北方向的偏移随韶光变革是下面这样的。

然而，丈量结果却让布拉德利感到困惑，他根本没有不雅观察到预期的视差，而是不雅观察到一件完备出乎猜想的事情。

事实上，单就没有不雅观察到视差这件事来说，实在也难怪，由于根据现在所知道的γ-Dra到地球的间隔为154 光年，它产生的视差的弧度约为再换算角度制不到 21 毫角秒，比胡克原来给出值的小三个数量级，差不多相称于站在广州来不雅观测黑龙江或新疆的一个人的身高，布拉德利的望远镜根本无法看到。

那么，布拉德利创造了什么新鲜事呢？

布拉德利确实也不雅观察到了γ-Dra高度的变革，但整年的变革与上述视差的预期完备不同。
他得到的不雅观测结果如下

从12月到3月，γ-Dra在子午线上逐渐向南移动；到3月时，距起始位置偏移了约20″；从3月到6月，它又向北移动回到起始位置；然后从6月到9月，它连续向北移动，直到终极达到起始位置以北20″；末了，从9月到12月，它又向南移动回到它的起始位置。

恒星光行差的阐明

布拉德利左思右想，听说有一天，当他坐船在泰晤士河上航行时，他把稳到风向未变，但由于船的航向改变，桅杆上的指示旗的指示方向随着变了，他一下子明白了。

他想到，光是从恒星射来的粒子流（布拉德利笃信光的微粒说），那么与雨中穿行者看到雨滴的方向改变类似，当地球相对恒星运动时，这些光的粒子流的方向也会发生偏移，以是光总会朝地球公转速率的反方向偏转一个角度。

是的，布拉德利所想到的和本文第2节所讲的差不多，只不过他是基于光的微粒说来思考的。
他将地球绕太阳公转的速率看作地球相对恒星的速率，这样一来，他就得到了光行差公式，成为历史上第一个研究并阐明光行差征象的人。

布拉德利的这种“光的方向偏移”想法，如果用光的以太颠簸不雅观点来理解，当然也是一样的结果——今后刮起的以太风会将头顶射下的光今后吹，使之今后偏转，如下图所示。

由于光芒的偏转，要不雅观察一颗恒星，必须相应地调度管子的方向，否则它发出的光无法顺着管子到达底部。
如下图所示。

以是，布拉德利为了每天在对应的时候看到γ-Dra，他必须调度望远镜的光学管的方向，使其偏角与光行差角保持同等。

因此，布拉德利得到的那个偏离角度与韶光的关系图实际上便是γ-Dra的光行差角随韶光的变革规律。

呃，γ-Dra的光行差角随韶光的变革竟然是周期性的，确切的说，是一种类似于正弦或余弦函数形式的变革。

那么，这又该如何阐明呢？

接下来可能更多的是一个地理或天文的问题。

虽然以太风总是指向地球公转速率的反方向，但由于地球公转是曲线运动，加上地球在自转，以是地面上感想熏染到的以太风的方向每时候都在变革。
对伦敦的不雅观察者来说，在不同的时段，以太风会造成不一样的不雅观察结果。

先来看12月到3月这段韶光的情形。

在这段韶光内，地球在黄道面上的运动方向逐渐由向北转为向西，以是刮起的以太风逐渐由向南转为向东。

在最初的那一天（12月17日）的中午，γ-Dra位于伦敦天顶，根据恒星日与太阳日的关系可知，往后每天γ-Dra涌如今天顶的韶光比前一天约提早3分56秒，直到3月18日旁边，γ-Dra在早上6点到达天顶。

布拉德利每天就在这个韶光点来不雅观察γ-Dra，他的任务便是调度望远镜的光学管的指向，记录下恒星的南北偏角。

考虑到地球是自西向东自转的，在12月到3月这段韶光，当γ-Dra位于子午线上方时，伦敦所感想熏染到的以太风一开始向东，后来逐渐转到向北。

到三月17或18日早上6点，此时γ-Dra在子午线正上方，而地球公转速率刚好沿地面正南方向，故此刻γ-Dra的光所受向北以太风的速率达到最大值，即地球公转速率。
这股向北的最强的以太风将γ-Dra的光往北吹，这就导致γ-Dra的虚像往南偏离到最远。

提示：考虑到地球自转和公转都是自西向东，结合前面那个地球在黄道面上运动的图，可以得到上述规律，请读者仔细想一想。

以是，从伦敦看γ-Dra一开始向西偏，后来向南偏。
要使望远镜始终看到γ-Dra，光学管首先应向西偏，且偏离程度最大，随即逐渐减小偏角的同时又逐渐向南偏，且偏竞赛渐增大。

若只关注恒星在某个特定方向的偏移，问题就变得较为大略，布拉德利只记录γ-Dra沿南北方向的移动，也便是朝北方吹的以太风造成的影响，他创造到3月17日旁边，γ-Dra向南偏离了大约20″。

如果连续看3月到6月这段韶光，黄道面上的以太风由向东逐渐转为向北，对应地球上不雅观察点的以太风则由向北逐渐转为向西。
由于布拉德利只关注恒星在南北方向的移动，以是他创造向北的以太风逐渐减弱到零，这使得γ-Dra向南的偏移逐渐减小，直到完备回到12月份的初始位置。

接下来的6月到9月以及9月到12月的过程，剖析方法是一样的，留给读者自己练习一下。

如果把这四个阶段连起来看，就得到γ-Dra的在南北方向的偏离呈现周期规律，布拉德利的不雅观测结果完备可以理解了！

布拉德利的贡献

布拉德利提出，他只关注恒星在南北向的偏离，如果同时也关注恒星在东西向的偏离，那么不雅观测将会变得繁芜很多。
他相信，若考虑所有方向的偏离，恒星的虚像将会在天顶划过一条闭合曲线——确切的说是一个圆。

你可能会问：为什么包括布拉德利本人的绝大多数人，都只关心γ-Dra南北向而不管东西向的偏离？

由于地球是绕南北向的地轴迁徙改变的，以是，只有当恒星刚好位于当地子午线上方一个很小的范围内时，它才算是位于天顶位置，而这个时候是可以根据打算恒星日与太阳日的差来估量，这为不雅观测γ-Dra的光行差征象供应了一个准确的韶光窗口。

换句话说，既然你要利用恒星位于子午线正上方这一最佳时候来不雅观察它的偏离情形，如果又不雅观察它在这个方向上的偏离，看起来有点麻烦。

这有点像我们高中物理中研究质量、力与加速度的关系时所提到的“掌握变量法”，固定一个量，才能研究两外的量的关系。
如果让几个量都同时变革，那你的研究肯定会非常麻烦。

实际上，文献记录称，布拉德利当年缺一个按照恒星日计时的高精度的钟——恒星时钟，否则他有办法丈量γ-Dra沿东西方向的偏离情形。
诸位都知道，依赖精密的GPS时钟，现在做这件事完备不在话下了！

当然，若地球是自北向南自转，其他的条件不变，那么布拉德利肯定会转而选择不雅观测恒星在东西向的偏离。
由于那样的话，东西向就变为纬度方向，而南北向则变成了经度方向了。

布拉德利得到的γ-Dra的光行差角为20.2″。
此后，通过不雅观察不同的恒星在经线和纬线方向的偏离，天下各地的天文学家得到了更多的恒星的光行差角，创造这些值险些是同等的。

这个是很好理解的，由于这些恒星有一个共性——它们离地球都非常迢遥且都位于不雅观测地的天顶位置，以是它们都服从光行差角的简化公式。

目前，恒星的年光行差角的精确值是20.49552″，对沿经线和纬线的光行差角都适用。

虽然布拉德利没有不雅观测到恒星视差，而是不雅观测到恒星像差，但恒星像差的周期性同样也是地球绕日运动的确凿证据，因此恒星光行差为哥白尼的日心说供应了第一个履历证明。

除了达成上述目标，布拉德利还达成了另一个后来被追加的目标——他想证明光速是有限的。
实际上，他第一次较为准确的给出了光速。
凭借这一事情，布拉德利迎来了他人生的顶峰时候，他得名字被永久载入人类科技的史册。

在此之前，丹麦天文学家奥勒·罗默（Ole Rømer）通过不雅观测木星的一颗卫星的日食于1675年给出了一个相差较大的光速值——214,000 km/s。

布拉德利测得γ-Dra向南和向北的最大偏离角度都为20.2″，它便是γ-Dra的光芒的偏离角度，换算成度制为0.00561°，布拉德利根据他所知道的地球公转轨道半径（他当时用的什么值，没有查到）和一年所含的秒数，打算得到地球公转的均匀速率，代入 (改：此处c应为v)打算得光速的值为301,000 km/s。

这个值与光速的标准值299,792.458 km/s的偏差在 0.4% 范围内，足见布拉德利的光行差理论是可靠的，丈量的精度也是比较高的。

如果用光速的标准值，考虑到地球公转速率的均匀值约为29.79km/s，则可知非常靠近万分之一，它叫做光行差常数，是光行差角的正切值。

光行差的其他类型

这一节紧张是为了出于内容的完全性而写的，不感兴趣可以跳过。

上述所谓光行差，确切的讲该当叫“年光行差”，由于它是在地球公转周期过程中发生的，以是公式中的是地球公转速率的均匀值。
年光行差常数是地球公转速率与光速的比值，对应角为20.49552″。

若考虑地球自转，它会导致所谓“日光行差”，它是指一天内恒星光芒方向偏转的角度的最大值。
由于地球自转速率的最大值在赤道处，约为0.465km/s，这个值比公转速率小两个数量级，对应角约为0.319″。
纬度为φ的地方的光行差常数为0.319″cosφ。

进一步的，太阳系的运动也会导致光行差。
由于太阳系的运动险些是恒定的，以是这种光行差在很长的韶光内是恒定的，因此叫“长期光行差”。

在人类可不雅观察的韶光内，长期光行差角是恒定的，纵然它的值比年光行差角大，也不随意马虎看到，由于它对恒星像差的影响在全局上是同等的。
以是一样平常情形下，这种光行差被忽略。

这就完了吗？

光行差的经典理论的确已经讲完了，它看起来挺大略吧！

然而，100年多年之后，它要经受各种质疑了，由于经典的光行差包含了一些的假设。
例如认为地球不会拖拽以太，但恒星和以太却保持静止。

其余，按照光的微粒说，光速该当与恒星的速率有关，也便是说，不雅观察不同恒星时，该当会看到不同的光行差角。