作者：Rachel Crowell
机器之心编译
机器之心编辑部
这一结果可能会帮助研究职员回答一个更主要的问题，即如何将物体从第四维展平到第三维。
打算机科学家 Erik Demaine 和他的艺术家兼打算机科学家父亲 Martin Demaine 多年来一贯在寻衅折纸的极限。他们繁芜的折纸雕塑被纽约当代艺术博物馆永久收藏。十年前，PBS 还播出了一部以他们为主角的艺术记录片。
这对差错在 Erik 6 岁时开始互助，如今，Erik 已经成为了麻省理工学院的教授。他说，「我们有一家名为 Erik and Dad Puzzle Company 的公司，这家公司制作并向加拿大的玩具店发卖拼图。」
Erik 从他父亲那里学到了根本数学和视觉艺术，但 Martin 也从儿子那里学到了高档数学和打算机科学。「现在我们都是艺术家和数学家 / 打算机科学家了，」 Erik 说，「我们互助了很多项目，尤其是那些超过很多学科的项目。」
他们的最新成果是一项数学证明，去年 10 月份揭橥在《Computational Geometry》杂志上。
论文链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0925772121000298
在这篇题为《利用可数折痕对所有多面体流形进行连续展平》的论文中，Erik 等人表示，他们证明了，如果扩展标准折叠模型以许可可数折痕涌现，则可以将 3D 中的任何有限多面体流形连续平展为 2D，同时保留固有间隔并避免交叉。
这一结果回答了 Demaine 父子和 Erik 博导 Anna Lubiw 2001 年提出的一个问题。他们想知道是否有可能取任何有限多面体（或 flat-sided）形状（比如立方体，而不是球体或无限大的平面)，然后用折痕将其折平。
当然，你不能将形状剪开或撕裂。此外，形状的固有间隔还要保持不变，「也便是说，『你不能拉伸或紧缩这个材料』，」Erik 说。而且他指出，这种类型的折叠还必须避免交叉，这意味着「我们不肯望纸张穿过自己」，由于这在现实天下中不会发生。「当所有东西都在 3D 中连续移动时，知足这些限定将非常具有寻衅性」。综上所述，这些约束意味着大略地挤压形状是行不通的。
Erik 父子等人的研究表明，你可以完成这种折叠，但条件是利用无限折叠策略。不过在此之前，几位作者在 2015 年揭橥的一篇论文中也提出了另一项实用技能。
论文链接：https://erikdemaine.org/papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf
在这篇论文中，他们研究了一类更大略的形状的折叠问题：正交多面体，其面以直角相交，并且垂直于 x、y 和 z 坐标轴中的至少一个。知足这些条件会逼迫形状的面为矩形，这使得折叠更大略，就像折叠冰箱盒一样。
「这种情形比较随意马虎算出，由于每个角看起来都一样。这只不过是两个面垂直相交而已。」Erik 说到。
2015 年取获胜利后，研究职员开始利用这种展平技能来处理所有有限多面体。然而，非正交多面体的面可能是三角形或梯形，适用于冰箱盒子的折痕策略不适用于棱锥体。并且对付非正交多面体来说，任何有限数量的折痕总是产生一些在同一个顶点相交的折痕。
因此 Erik 等人考虑利用其他方法来规避这个问题。经由一番探索，他们找到了一种办理非凸面物体展平问题的方法——立方体晶格（cube lattice），它是一种三维的无限网格。在立方体晶格的每个顶点处，有许多面相交并共享一条边，这使得在任何一个顶点处实现展平都是非常困难的。
但研究职员终极还是找到理解决方案。首先，他们找到一个「阔别顶点」且可以展平的点，然后再找到另一个可以展平的点，不断重复这个过程，靠近有问题的顶点，并在移动时将更多的位置展平。
这个过程须要一贯持续下去，一旦间断，就会有更多问题须要办理。本文作者之一、新加坡国立大学的 Jason Ku 表示：「在有问题的顶点附近，利用让切片越来越小的方法将能够展平每个切片。」
「在这种情形下，切片并不是实际的切割，而是用于想象将形状分解成更小块并将其展平的观点性切片。然后我们在观点年夜将这些小切片『粘合』在一起，以得到原始表面。」Erik Demaine 说道。
研究职员将同样的方法运用于所有非正交多面体。通过从有限的「观点」切片迁移到无限的「观点」切片，他们根据数学上极限的思想创建了一个程序，得到了展开的平面，办理了最初的问题。
美国史密斯学院的打算机科学家和数学家 Joseph O'Rourke 夸奖道：「我从来没有想过要用无限的折痕，他们以非常聪明的办法改变了构成办理方案的标准。」
Erik Demaine 考试测验将这种无限折叠的方法运用于更抽象的形状。O'Rourke 最近建议利用该方法将四维工具扁平化成三维。同时，Erik Demaine 表示他们仍旧想探索是否可以用有限的折痕来展平多面体，并乐不雅观地相信这是可能的。
在打算机上玩折纸的神童
说 Erik Demiane 是神童一点也不为过。他 12 岁到加拿大读书，14 岁拿到学士学位提前毕业。20 岁在 MIT 任教，21 岁就成为教授，23 岁在滑铁卢大学揭橥博士论文，并得到加拿大「总督金牌」和 NSERC 博士奖学金，同年拿到麦克阿瑟奖。
而 12 岁之前，Erik 是在家里由自己的父亲 Martin Demaine 传授教化文化知识。只管 Martin 只有高中学历，但他却是有名的艺术家和数学家。
Erik 的紧张研究方向便是折纸算法和打算理论，现在和他的父亲 Martin 一起在 MIT 任教。他们在打算机中进行大量的算法仿照，仿真折纸的过程，并基于此设计真实天下中的折纸艺术品。同时，通过创作折纸艺术品，Erik Demiane 能够反推改进算法，改进的算法又进一步引发折纸艺术创作，从而形成一个现实 - 虚拟，算法 - 艺术的循环。
参考链接：https://www.quantamagazine.org/father-son-team-solves-geometry-problem-with-infinite-folds-20220404/
https://www.x-mol.com/paper/1386871662666866688/t
http://www.archcollege.com/mobile.php?m=index&a=appDetails&id=28655
