切触几何是微分几何的一个分支，它是辛几何的孪生兄弟。它看似怪异的定义却有着极为自然的起源。本文紧张先容什么是切触几何，从其研究中得到的主要定理来理解切触几何的来龙去脉与主要性子——柔性与刚性；它刚柔相济，很像中国传统文化的太极。而我们会看到这一古老的领域的高维探索，在本日才走上快车道。
撰文 | 周正一（中国科学院数学与系统科学研究院）
1912年，58岁的庞加莱（Poincaré），这个被称为“对数学和它的运器具有全面知识的末了一个数学全才”又将视线转回到三体问题——这个他已经研究了二十多年，并为他带来巨大国际荣誉的问题。这次他考虑的是平面圆型限定性三体问题：三体中有一体没有质量，而其余两体在万有引力的浸染下绕着它们的质心旋转，比如地球、太阳和一颗质量可以忽略不计的人造卫星。庞加莱把卫星的周期轨问题转化成为一个环带面上变换的不动点问题。在一些情形下，他成功地证明了后者的不动点的存在性，并在投稿的信件中解释了他对一样平常情形的确信。两周往后，这位数学巨人不幸离世，这便是庞加莱末了的几何定理。一年往后，Birkhoff给出了定理的完全证明。由此这个传奇的定理以Poincaré-Birkhoff不动点定理的名字流传于世。
定理 1（Poincaré-Birkhoff不动点定理）
环带面上一个保面积的变换，如果它在两个边界上反向旋转，那么它至少有两个不动点。
圆型限定性三体问题可以说是三体问题中最为简化的一个版本，即便如此，其蕴含的数学也无比丰富，乃至可以说冥冥中为几十年后的辛几何与切触几何（Contact geometry）的发展埋下了伏笔。
01 切触几何——辛几何的孪生兄弟
三体问题是牛顿力学的特例，也可以用哈密顿力学的措辞在辛几何的框架里重新描述。所谓辛构培养是切空间上的一个反对称非退化的双线性形式ω，并且局部上等价
触形式。）它的三维环境由Taubes[1]证明（2007），其证明中布局的工具和方法产生的余波绵延至今，对三维Reeb系统和曲面动力系统产生了深刻的影响。而在一样平常维度上，虽然Weinstein猜想在许多例子中得到了验证，但离它的终极办理彷佛仍在目力之外。
回到三体问题，2010年，Albers、Frauenfelder、van Koert和Paternain[2]互助证明了在圆型限定性三体问题在能量低于或稍高于第一拉格朗日点的能量时，其对应的哈密顿系统是一个切触系统。从限定性三体问题到Poincaré-Birkhoff不动点定理的约化，正是从切触流形Reeb向量场周期轨的问题到一个辛流形叶面上的哈密顿同胚不动点/周期点的问题的约化。也便是从辛几何的哈密顿系统出发，特化成切触系统，继而再约化成更低维度上的哈密顿系统的问题，可见辛几何与切触几何之间的难舍难分。
另一方面Poincaré-Birkhoff不动点定理也是当代辛几何起源的一条紧张脉络。上世纪70年代，Arnold将两个环带面粘合，以一个习题的形式预测二维环面上任何一个哈密顿同胚，在非退化假设下，会有4个不动点。以该问题为代表的一系列整体性问题为当代辛几何的发展埋下了种子。1985年Gromov[3]将拟全纯曲线的整体性方法引入辛几何，随后在80年代末，Floer[4]为理解决Arnold猜想（在更一样平常辛流形的情形）将Gromov的技能与变分法相结合，为整体辛几何注入了强劲的活力，掀起了延续至今的革命。也正是Arnold的这个问题，让切触几何即将登场的主角有了被天下听见的机会。
关于切触几何，数学家常常会说它是辛几何在奇数维度的类比，是辛几何那有点含羞，乃至有点怪异的孪生兄弟。从动力系统的角度，它们之间紧密的联系从上面已可以窥见。
02 切触几何的起源
那到底什么是切触几何，如此的构造又是如何自然地涌现的呢？我们可以考虑一阶常微分方程
对付一个一样平常F，我们该当如何求解这个方程呢？一个自然的思路是首先把dz/dx看作一个独立无关的变量y，首先求解 F(x, y, z) = 0。由于少去了微分关系的约束，这个
空间。这样的不雅观点可以很自然地迁移到任何流形，从而任何流形的（余）球丛也是一个切触流形。而切触变换便是保持切触构造的变换。很明显，切触变换会把勒让德子流形映到一个勒让德子流形，从而把一个微分方程的解映到另一个微分方程的解。
来的流形。等价地说，一个切触流形，便是一个奇数维的流形，并且在每一点处的切空间中都光滑地选取一个余一维的子空间，使得它局部上和前文的标准切触构造一样。由此可见切触几何是一门侧重整体的几何学。
03 切触几何的柔性
在上面的故事里，切触几何更多地像一个配角、一个背景板，供应一种角度和解释。直到上世纪中叶，切触几何才逐渐从幕后走到台前，逐步形成一个独立的领域。在这个过程中我们面对的基本问题便是切触构造的存在性问题。在很长的一段韶光里，切触流形列表只有下面可怜的几项：
1. 黎曼流形的余球丛/余射影丛，这是Lie的创造；
早在上世纪50年代，陈省身师长西席就意识到切触构造存在拓扑障碍，即流形的切空间必须能分解成一个平凡线丛和一个具有复构造的向量丛，这被称为近切触构造。而近切触构造的存在性和分类是一个纯拓扑问题，原则上我们可以通过障碍理论来打算这个问题。当然，在详细的例子里，这也是一个非常繁芜且困难的问题。
抛开这部分的困难，一个自然的问题的便是：给定一个近切触构造是否存在切触构造代表元？在开流形的环境，这个问题由Gromov给出了圆满的答案并引入了如今被称为同伦事理（h-principle）的主要理念。
定理 2（Gromov，1970[6]）
在同伦意义下，开流形上的切触构造与近切触构造逐一对应。
在闭流形的环境，这个问题的答案则要繁芜得多。在这方面第一个主要事情便是：
定理 3（Lutz，Martinet，1971[7, 8]）
任何三维流形的任何一个近切触构造都存在切触构造代表元。
在实行手术前，通过扰动我们可以哀求工具纽结会横截地穿过切触平面，比如上图左侧的 z 轴（我们可以把z轴的±∞附近的切触构造粘合起来）。如果把这个首尾相粘的z-轴的小邻域去掉，那么在边界轮胎面上，切触构造和轮胎面的切空间会交出一个斜率很小的切向量，这被称为特色叶状构造——我们可以把它想象成螺丝上的螺纹。那么在缝合的时候，我们须要将由两侧切触构造勾引的螺纹对齐。不过由于缝合办法的不同，重新粘入的实心轮胎一侧看，这个相应的螺纹可能会有完备不同的斜率。也便是说，我们须要一个具有切触构造的实心轮胎，使得其边界上的螺纹具有任意的斜率。在上图左侧的环境（通过一个坐标变换，它等价于前文的标准切触构造）为例，通过增大以z-轴为轴心的半径，我们能实现越来越多的斜率，但始终无法实现所有的斜率，由于沿着径向切触平面只旋转了半圈。与标准切触构造不同的是，上图右侧的切触构造（被称为过度旋转（overtwisted）切触构造），由于切触平面沿着径向一直地旋转，我们的确可以通过选择得当的半径实现所有的斜率。以是，通过在过度旋转切触空间中选取得当的手术配件，我们就可以在任何手术上实现切触构造。
至此，切触几何已经做好了欢迎它的英雄的所有准备。只不过对付这位英雄，命运仍要为他设计一些试炼。
Eliashberg于1946年出生于列宁格勒，师从Rokhlin。早在1970年代，Eliashberg就和他的师兄Gromov一起发展同伦事理。1974年，Gromov移民至美国，而Eliashberg被分配至偏远的瑟克特夫卡尔国立大学，并在那里事情到1979年。随后，Eliashberg由于移民签证被谢绝而成为不被苏联政府信赖的人，被迫离开数学事情。他从事了各种临时事情，之后在一家公司从事软件开拓直至1987年。早在1979 年，Eliashberg就办理了前文中的Arnold猜想在环面以及其他曲面的环境，他拜托移民美国的Katok将其论文带到美国，这在当时是不被许可的。不幸的是，这个论文的初版有缺点，而改动的版本也被搞混而没有及时被更多人看到。1983年，Conley-Zehnder证明了任意偶数维环面的Arnold猜想，而Eliashberg关于曲面的证明却由于各类缘故原由仍未能揭橥。在一次访谈中，Eliashberg把前者比作他的天下里的一颗炸弹。不过，他在Arnold猜想上的事情，以及在辛刚性上的进展终极得到了国际数学界的认可，并受邀在1986年的国际数学家大会上作报告。可惜终极未能成行，只能由Mather代为申报请示他的事情。在被迫离开数学界的几年里，Eliashberg由于各种限定未能揭橥什么论文，不过切触几何已经迎来了飞跃式的发展，虽然当时人们并没意识到。1988 年，Eliashberg来到美国，天下终于可以听到他的声音。
先回到刚才的提到的手术描述，如有哀求手术缝合进一个足够粗的实心轮胎，我们能在手术后的切触流形中找到一个如下的圆盘——过度旋转圆盘（overtwisted disk）。
Eliashberg把能够找到这样圆盘的三维切触流形称为过度旋转切触流形，并通过证明相应的同伦事理证明了如下的里程碑结果，这揭示了Lutz-Martinet定理（任何三维流形的任何一个近切触构造都存在切触构造代表元）中隐蔽的更为深刻的构造。
定理 4（Eliashberg，1989[9]）
在同伦意义下，三维流形上的过度旋转切触构造与近切触构造逐一对应。
这般的存在性或者是布局性的性子，每每被称为是切触几何的柔性。除了过度旋转切触构造的同伦事理，切触几何中范例的柔性定理还包括：Giroux的切触开书分解[10]，即将三维切触流形看作一族带边辛曲面的组合（如下图），例如限定性三体问题和Poincaré-Birkhoff不动点定理的关系，以及用于分解切触流形的凸曲面理论（也是由盲人数学家Giroux首创）等。这些结果都在三维切触几何的发展中起到了举足轻重的浸染。
开书分解将切触流形分解成一族带有公共边界的辛流形的组合，形如一本打开的书本。
上述柔性定理的高维版本的涌现则要晚得多，只管人们对它们的探索从未停滞过。以高维过度旋转为例，通过类比三维的环境，虽然我们早有几个备选定义，并也很快证明了过度旋转流形该当具备的刚性性子（见下文），但具有同伦事理的定义直到2014年才由Borman、Eliashberg和Murphy[11]给出。随后，与之前备选定义的等价性也很快被建立起来。而对付开书分解，虽然高维版本的切触开书存在性已早为人知，但完全的Giroux对应的证明直到2023年才涌如今Breen、Honda和Huang[12]的一个预印本中。末了高维凸曲面的存在性也直到2019年才被Honda和Huang[13]建立。
04 切触几何的刚性
关于存在性的基本问题办理之后，接下来自然便是切触构造的分类问题。切触几何的柔性布局给了列举切触构造的一种可能，但仅有柔性，切触几何只能跛足前行，我们还须要有效的不变量来区分切触构造，从而回答分类问题。这些不变量，尤其是超越拓扑不变量——即近切触构造——的不变量，便是所谓的切触几何的刚性。这方面的一个基本结果是：
这个定理的原始证明是通过研究个中扭结的性子得到的。1985年，Gromov首创性地将拟全纯曲线的技能引入到辛几何中，给辛几何带来了一场延续至今的改造。Eliashberg把这种方法引入到切触几何的研究中去，并证明了过度旋转切触流形是不
Bennequin定理的当代证明。我们把不是过度旋转的切触流形被称为紧（tight）切触流形。由于过度旋转的分外性，切触几何的基本二分法便是：
过度旋转 v.s. 紧。
一样平常我们会认为紧切触流形的天下是由刚性，或更进一步，由拟全纯曲线所统治。
构，也便是唯一的紧的切触构造。而在高维，我们不再有这样大略的分类；事实上，在任何高于3维的奇数维标准球面的标准近切触构造上，我们都有无穷个不同的紧切触构造。而它们的区分就须要用到下面的刚性不变量了。
1993年，Hofer[15]通过研究切触流形的辛化中的某类伪全纯曲线的存在性，得到了三维过度旋转切触流形的Weinstein猜想的证明。比起这个证明影响更深远的是，Hofer 引入了如今被称为Hofer能量的观点，而我们须要研究的正是具有有限Hofer能量的拟全纯曲线，它们具有良好的渐进性子和紧化性子等等。正是这些准备和铺垫，在2000年，Eliashberg、Givental 和 Hofer[16]提出了一个研究切触几何和辛几何的弘大框架，即所谓的辛场论。
详细而言，通过计数切触流形的辛化，以及辛配边中的带孔拟全纯曲线，定义一个从辛配边范畴到一个代数范畴的函子；也便是给每一个切触流形授予一个代数工具，给每一个辛配边授予一个代数工具间的态射。这个代数工具以及其上的各种代数不变量自然地成为了切触流形的不变量。辛场论就像一本字典一样可以把几何问题翻译成代数问题。之条件到的无穷个高维切触球面也是通过辛场论，或干系理论的不变量得到区分。不过无论是代数上，还是剖析上，辛场论都不是一个大略的工具，它的根本与运用还在快速的发展中。直到2016年，辛场论里最大略的版本，即切触同调，才分别由Pardon以文[17]及Bao和Honda[18]分别给出完全的定义，他们的文章分别在2019年和2023年正式揭橥。不过随着虚拟技能（virtual technique) 日月牙异的发展，以及我们对辛场论构造、运用和打算的认识加深，相信辛场论的发展会在不久的未来驶入快车道。辛场论之外，我们还有如层论、Heegaard-Floer理论，以及最新的高维Heegaard-Floer理论等在内的刚性理论。它们或直接或间接地与拟全纯曲线理论紧密联系，也都经历着快速的发展。
05 结语
Eliashberg在2015年的综述文章“Recent advances in symplectic flexibility”中[19]提出了“holomorphic curves or nothing”的原则：即在切触几何和辛几何中的构造或征象，要么被同伦事理统治而存在，要么为拟全纯曲线所阻碍。这样的信念虽然并非一个严格陈述且数学上可验证的命题，但足以通报切触几何中最核心的两个主题——柔性和刚性。只管柔性和刚性在任何一种几何学中都有不同程度的表示，但在这刚柔光谱之中，这两种征象之间每每有着巨大的中间地带。然而在切触几何中，彷佛这两极之间有着更为明晰的边界。柔性和刚性的对立构成了切触几何的基本征象，而它们的互助则是切触几何的核心工具。虽然我们对切触几何，尤其是高维切触几何的理解还非常有限，但身处这个韶光点，无疑是最好的时期，由于高维切触几何已经完成了双足站立，它正要迈向光明的未来。
参考文献
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[18] Bao, E., Honda, K., Semi-global Kuranishi charts and the definition of contact homology. Adv. Math. 414, Article ID 108864, 148 p. (2023).
[19] Eliashberg, Y., Recent advances in symplectic flexibility. Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 52, No. 1, 1-26 (2015).
（编者注：作者为本文起的原标题为“Making Contact with Contact Geometry”。）
出品：科普中国
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