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以下为正文：
学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
假设你已经读懂了 SVM 的事理，并理解公式怎么推导出来的，比如到这里：
SVM 的问题就变成：求解一系列知足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：
上面的公式打算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 种别，否则是 -1 种别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
那么剩下的 SVM 实现问题便是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个出发点，比如 Platt 的SMO 算法（https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2016/02/tr-98-14.pdf），它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
target = desired output vector
point = training point matrix
procedure takeStep(i1,i2)
if (i1 == i2) return 0
alph1 = Lagrange multiplier for i1
y1 = target[i1]
E1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)
s = y1y2
Compute L, H via equations (13) and (14)
if (L == H)
return 0
k11 = kernel(point[i1],point[i1])
k12 = kernel(point[i1],point[i2])
k22 = kernel(point[i2],point[i2])
eta = k11+k22-2k12
if (eta > 0)
{
a2 = alph2 + y2(E1-E2)/eta
if (a2 < L) a2 = L
else if (a2 > H) a2 = H
}
else
{
Lobj = objective function at a2=L
Hobj = objective function at a2=H
if (Lobj < Hobj-eps)
a2 = L
else if (Lobj > Hobj+eps)
a2 = H
else
a2 = alph2
}
if (|a2-alph2| < eps(a2+alph2+eps))
return 0
a1 = alph1+s(alph2-a2)
Update threshold to reflect change in Lagrange multipliers
Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
Update error cache using new Lagrange multipliers
Store a1 in the alpha array
Store a2 in the alpha array
return 1
endprocedure
核心代码很紧凑，便是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会一直的选择最须要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，担保得到一个精确可用的 SVM 程序，这是后面的根本。
第二步：实现核函数缓存
不雅观察下上面的伪代码，开销最大的便是打算核函数 K(xi, xj)，有些打算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设统共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，须要 NN sizeof(double) 的空间，如果演习集有 10 万个样本，那么须要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，以是核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中实在会反复用到特定的几个有限的核函数求解，以是命中率不用担心。
有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
第三步：优化偏差值求解
把稳看上面的伪代码，里面须要打算一个估计值和真实值的偏差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
E(i) = f(xi) - yi
这便是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，由于回顾下上面的公式，打算一遍 f(x) 须要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。实在这是有问题的，后面我们会说到。最好的办法是定义一个 g(x) 令其即是：
也便是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的打算，那么我们随时可以打算偏差：
E(j) = g(xj) + b - yj
以是最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里由于所有 alpha 值初始化成了 0，以是 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，轻微不雅观察一下 g(x) 的公式，你就会创造，由于去掉了 b 的滋扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变革的，以是我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变革了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，详细代码类似：
double Kik = kernel(i, k);
double Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i Kik y[i] + delta_alpha_j Kjk y[j];
把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 往后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复打算。
这实在是很直白的一种优化办法，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
第四步：实现冷热数据分离
Platt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不随意马虎变动，而且伪代码也是优先在事情集里探求 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对事情集整体的 alpha 值进行迭代。
那么我们势必就可以把事情集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于即是 0 或者大于即是 C 的 alpha）。
随着迭代加深，会创造大部分时候只须要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步一直的紧缩，以是区分了冷热往后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔弗成了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
第五步：支持 Ensemble
大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，以是我们须要做一些改动。可以让表面针对某一个分类传入一个“权重”过来，改动 SVM 的识别结果。
最传统的修正办法便是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修正办法是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入打算。
这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们连续优化。
第六步：连续优化核函数打算
核函数缓存非常花费内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
针对核函数的打算和存储有很多优化办法，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只打算有限的几个核函数，然后通过插值的办法求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降落了一倍空间需求。
第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
对付高维样本，比如笔墨这些，可能有上千维，每个样本的非零特色可能就那么几个，以是稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特色，大部分样本都有 100个以上的非零特色，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特色的值，在工程方面就有很多优化办法了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能得到更好的打算性能。
以是最好的办法是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾韶光和空间效率，对不同的数据选择最适宜的办法。
第八步：针对线性核进行优化
传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，便是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度低落的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适宜线性核，利用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加弘大的数据集，LIBLINEAR 便是做这件事情的。
同时这类算法也适宜 online 演习和并行演习，可以逐步更新增量演习新的样本，还可以用到多核和分布式打算来演习模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度低落迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的办法求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的事理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
上面便是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再今后还有兴趣，可以接其实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。
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