导语
1963年，洛伦兹用蝴蝶效应形象地展现出了混沌的魅力：亚马逊热带雨林中的一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可以在两周往后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。正所谓“失落之毫厘，谬以千里”，混沌理论见告我们，纵然人类节制了确定性规则，依旧无法拥有预测未来的能力。本文从混沌的景象预测实验开始，先容了混沌理论和实例：从分岔到分形，从树木、血管这些自然界的实例，到量子混沌再到人类的意识。
关键词：混沌理论，分形，量子混沌，意识
Irfan Bashir, Hamid Rashid Shah | 作者
牛晓杰 | 译者
梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑
目录
1. 一个混沌理论的实验
2. 阐明混沌理论：混沌科学
3. 什么是混沌理论？
4. 混沌斑图
5. 混沌理论举例
6. 量子混沌
7. 混沌理论与意识
1. 一个混沌理论的实验
在60年前一个寒冷的冬天，爱德华·洛伦兹正在他的电脑上进行一个景象模式仿照的实验。在输入了一些数字之后，他出去喝了杯咖啡。等到他10分钟后再次回来的时候，创造一些古怪的结果。由此他创造了后来著名的混沌理论——一个将永久改变科学的创造！
他的电脑模型是12个变量的组合，每一个变量代表景象的一个方面，诸如温度和风速。洛伦兹当时正在重复他之前的仿照。然而，当洛伦兹把他程序里的变量从0.506127四舍五入成0.506时，未来两个月的全体景象预测模式都完备改变了。在正常参数下，给定相同的出发点，景象每次都会以相同的模式展开。而给定一个轻微不同的出发点，景象该当以轻微不同的模式展开。四舍五入造成的偏差肯定是微不足道的，它不应该造成什么大规模的影响。
在那个期间，科学的假设是，只要理解物理定律和系统的初始条件，就可以打算出一个封闭系统的大致行为。科学思维是，另一个星球上树叶的掉落不会影响到地球上台球的运动。人们相信，小的变革不会造成大的影响。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1814年出版的《概率哲学论文》（ ）中说，如果我们知道宇宙目前的统统，那么“没有什么是不愿定的，未来就像过去一样，会毫无保留的呈现在‘我们’面前”。
但是，在洛伦兹的分外微分方程系统中，随着韶光的推移，小的缺点会造成深不可测的变革。这些问题瞩目着他，但他并没有答案。是否大略的模型可以产生显著的随机性？是否在一个别系中的大略模型会在另一个别系产生繁芜性？是否随机性并不是模糊丈量的副产品，而是一种常态？是否混沌并不是人类不雅观察局限性的结果，而便是自然的底层法则？
图.运行了两个月的两个仿照景象斑图
这个出乎猜想的结果使洛伦兹意识到，小的改变可以造成大的影响——这是对自然运转办法的强有力洞察。这个想法被称为“蝴蝶效应”。混沌效应或者蝴蝶效应便是用来表述“小的改变导致全体混沌系统重大变革”的不雅观点。蝴蝶效应这个术语是洛伦兹提出的，他假设一只远处的蝴蝶拍打翅膀的行为可以引起一系列的繁芜事宜，终极导致其他地方的一场龙卷风。洛伦兹意识到，对初始条件的敏感性是导致非周期性行为的缘故原由。这种效应后来得到了一个专有名词：初始条件依赖敏感性。然而，看一下民间传说就会创造，古代的墨客已经知道并回答了什么是混沌理论：
“由于少了一颗马蹄钉，而丢了一个马蹄铁。
由于丢了一个马蹄铁，而少了一匹战马。
由于少了一匹战马，而缺了一个骑兵。
由于缺了一个骑兵，而输了一场战役。
由于输了一场战役，而灭亡了全体国家。”
2.阐明混沌理论：混沌科学
正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）在他的书《混沌》（）中所说，“在混沌开始的地方，经典科学就止步了。只要天下上有物理学家在试图探究自然规律，TA就会在面对大气中的无序状态、动荡的海洋、野生动物种群的颠簸、心脏和大脑的振荡时感到特殊的无知。自然界有其不规则、不连续和不稳定的一壁。”
混沌科学孕育了自己的措辞，包括分形、湍流、周期性、分岔、奇异吸引子、蝴蝶效应和敏感依赖等词汇。这些词代表了一个规则不同的天下——事物分支成奇怪的构造，遵照一种可以知道但不可能精确量化和预测的斑图和周期性。如果通过时空连续体的棱镜来参考，那么这个混沌天下的统统就彷佛是折回自身，同时成为未来和过去——它从自身汲取其周期性。混沌不是对秩序的谢绝，而是秩序的自然表达。
混沌科学彷佛可以回答一些人类苦苦追寻的最基本问题。生命是如何开始的？什么是湍流？最主要的是，在一个创造更多无序的熵支配的宇宙中，秩序如何产生？以及古老的科学问题：微不雅观天下如何将自己编织进宏不雅观天下。孤立地研究一个原子或神经元时，其行为办法是一样的，但数十亿个原子和神经元的行为办法却完备不同。这是一门解开周期性和不可预测性之间联系的科学。
3.什么是混沌理论
混沌的核心是对非线性的研究，这意味着玩游戏的行为有可能改变规则本身。非线性使得对非线性事物的理解变得困难，由于不同变量之间存在错综繁芜的变革性，从而创造了丰富而繁芜的行为。例如，人们不能给摩擦力定义一个恒定的主要性，由于它的主要性取决于速率，而速率又取决于摩擦力。因此，量化非线性就像解一个魔方，每次移动它时颜色都会改变。
让我们考虑一些最常见的日常例子：
3.1 预测景象
过去两个世纪技能发生了重大变革，短期内的景象预测水平已经大大提升。但是长期景象预测仍旧是棘手的问题。大部分当代景象预测模型，乃至是人工智能驱动的模型，都是通过分布在10-200公里范围内的地理监测点的网格进行预测。为了确定景象，气候学家利用一系列微分方程来剖析原始数据，个中包括露水强度、温度、风、压力以及其他变量。但是地面站和卫星不能不雅观察到所有的东西，因此对付一些起始数据，例如水分，必须通过预测给天命值。大多数情形下，这种预测是可靠的。
但是，假设我们能够将设备升级到足够精确的水平，并且用间隔仅几英尺的传感器覆盖全体地球；假设每个传感器都能给出气候学家想要不雅观察的完备准确的读数；假设一台由人工智能驱动的量子打算机能够吸收所有这些读数，并打算出以分钟为间隔的景象模式。那会发生什么？如果以上所有假设成立，我们是否能够绝对准确地预测景象？
我们将不雅观察到的是，我们仍旧无法预测特定地点或长期的景象模式。传感器之间的空间将隐蔽微不雅观颠簸——它一贯延伸到量子范围，但是打算机并不知道。这些实在只是比较于均匀水平的眇小偏差。但在几分钟内，这些颠簸已经在几英尺外造成了眇小的缺点。很快，乘数效应（Multiplier Effect）将随之而来，缺点将累计，乃至会扩展到10英尺的间隔范围。因此，这使得人们不可能绝对准确地预测景象。
3.2 一杯热咖啡与混沌
热液体是受混沌法则支配的许多流体力学过程之一。以一杯大略的咖啡为例，我们若何才能打算出一杯咖啡究竟会以若何的速率冷却下来？如果咖啡只是热的，它的热量会在没有任何流体力学运动的情形下耗散，因此不会产生湍流。但是如果温度上升到咖啡开始沸腾，会发生什么？
如果你仔细不雅观察过一杯热咖啡，会立即把稳到在饮料表面有一条暗线勾勒出的土灰色漩涡区域。这些旋转的斑图被称为对流单元。它标志着热咖啡上升到表面，而轻微冷却的咖啡被引力拉向底部的区域。对流是一种常见的过程，当较热的空气或液体位于较冷的下层时就会发生。这便是咖啡杯中发生的情形：上面的咖啡因蒸发而冷却，随着冷却也变得更重，被重力拉下底部。同时，底部的咖啡中较热的部分上升到顶部以取代它。
漩涡可能很繁芜。但终极我们能够知道这个别系会变成什么。随着热量的进一步消散，同时摩擦使移动的液体变慢，杯中咖啡的内部运动肯定会停滞。洛伦兹在评论这一征象时曾说："我们可能难以提前一分钟预测咖啡的温度，但提前一小时预测它该当没有什么困难。“
根据教科书上的对流模型，热的底部和冷的顶部之间的温度差掌握着系统的流动。大略地说，热量向顶部移动，但并不滋扰液体保持静止的趋势。
然而，当开始加热时可以不雅观察到，随着液体变得更热，它的体积扩大，密度降落，使其轻到足以战胜摩擦并向表面上升。但如果热量进一步增加，液体的行为会变得更加繁芜。卷动的液体开始扭捏，为湍流的形成做准备。
因此，一个看似稳定的系统，当面对眇小的变革时，如加热仅0.001度，就可以在几秒钟内从有序对流过渡到湍流混沌——纵然这种系统是确定性的，它的终极结果可以预测。然而，在短期内，系统的确定性趋势必须向混沌让步，使得诸如“一杯咖啡的温度”这样大略的事情无法预测。这样的系统被称为遵照确定性的混沌，其行为原则上是可以被预测的，但“随着韶光的推移”或在更小的“韶光”尺度，其不可预知性会涌现。
4.混沌斑图
自然界中的混沌斑图就在我们身边。这些斑图包括但不限于流体中的分形和湍流，螺旋形或者二维曼德布洛特凑集形，或像洋葱中的嵌套层那样普遍的事物。
自然界中的混沌是一项迷人的研究。从最小的雪花到弘大的星系，它的每一点、每个声音和蔼象都在诉说着自己的故事。这不禁令人着迷，由于它有如此多的层次可以探索！
从由不同材料组成的建筑构造（如砖或玻璃）内的音乐反应，一贯到诸如包含后代遗传信息 DNA 的细胞等更小的构造，混沌无处不在。
大自然是一幅用秩序和混沌的图案编织的毯子。让我们探索个中的一些斑图。
4.1 洛伦兹系统：混沌理论中的蝴蝶效应和奇异吸引子
在洛伦兹不雅观察到景象模式对初始条件的敏感依赖后，他对混沌背后的数学产生了浓厚的兴趣，并由此创造了著名的洛伦兹方程。1963年3月，洛伦兹写道，他想引入求解确定性非周期流和有限幅度对流（确定性混沌）的常微分方程。洛伦兹创造，当将傅立叶级数运用于瑞利的对流方程时，除了三个变量外，其他变量都趋于零。这三个变量表现出不规则的、明显的非周期效应。他利用这些变量构建了一个基于地球大气二维表示的大略模型。
他提出了一组对流微分方程，并将其简化到极致。只管洛伦兹系统没有完备仿照对流，但它能够抽象涌实际天下中对流的一个特色：热流体上升并向四处流动的循环运动过程。
洛伦兹方程如下：
dx/dt = X’ = σ(y − x)
dy/dt = Y’ = ρx − y − xz
dz/dt = Z’ = xy − βz
洛仑兹方程包含三个参数：σ， ρ， β。接下来，我们均假设这些参数都是正的。不才面所有的数值打算中，我们取 σ = 10.0， β = 8/3，ρ 是变量。这里 x、y、z 并不是指空间中的坐标。x代表平面上的对流翻转，y和z分别代表水平和垂直的温度变革。该模型的参数为σ，代表流体粘度与其热导率之比；ρ 代表大气平面顶部与底部的温差；β 代表平面的宽度与高度之比。
洛伦兹的电脑记录下三个变量的变革值：0-10-0；4-12-0；9-20-0；16-36-2；30-66-7；54-115-24；93-192-74。随着预设韶光间隔的推移，这三个数字先上升后低落。洛伦兹用每组的 xyz 值作为坐标绘制数据图。这副图显示了当一个变量经历有限韶光内的变革时，混沌系统如何随韶光变革。过去对系统的传统预期是，它要么会稳定下来，进入一个稳态，速率和温度的变量将不再变革；要么可能会形成一个循环，进入一种周期性重复的行为模式。而这两者都没有在洛伦兹系统里涌现。
洛伦兹系统
这幅图形成了一种无限繁芜的觉得，同时包含了混沌和秩序。它总是在一定的范围内运转，但与此同时，它从不重复自己曾经涌现过的状态。天生的混沌系统可预测地朝着相空间中的吸引子移动——但涌现的不是点或大略的环，而是奇异吸引子。奇异吸引子是混沌系统在特定相空间中的一种表现，但吸引子也存在于许多非混沌的动力系统中。
它的形状看起来像个三维的双螺旋，看起来像一只蝴蝶。因此被称为蝴蝶效应。
洛伦兹吸引子（蝴蝶效应）微分方程在 Java 中的示例实现：
int i = 0;double x0, y0, z0, x1, y1, z1;double h = 0.01, a = 10.0, b = 28.0, c = 8.0 / 3.0;x0 = 0.1;y0 = 0;z0 = 0;for (i = 0; i < N; i++) {x1 = x0 + h a (y0 – x0);y1 = y0 + h (x0 (b – z0) – y0);z1 = z0 + h (x0 y0 – c z0);x0 = x1;y0 = y1;z0 = z1;// Printing the coordinatesif (i > 100)System.out.println(i + ” ” + x0 + ” ” + y0 + ” ” + z0);}
洛伦兹微分方程组证明了混沌中隐蔽着秩序。这种混沌本身并不能简化为随机性。混沌的核心终于可以被数学的诗意措辞表达了。混沌背后的数学理论表明，宇宙是由繁芜的系统掌握的，这些系统同时产生了湍流和相关——无论是木星的大红斑还是物各类群。蝴蝶效应便是混沌的表示。
4.2 费根鲍姆常数和混沌理论
混沌的数学表示确立了非线性的主要性，这一特性支配着大多数自然系统，包括种群数量的增加。例如，如果1000只大象的群体每年净增10个成员，那么种群数量的增加可以在图表上表示为一条直线。然而，一群小鼠如果每年增加一倍的种群数量，将有一个非线性的增长模式——该图可以表示为一条上升的曲线。十年后，由于增长的非线性特色，两个小鼠群体（一个有22只小鼠，另一个有20只小鼠）之间的差异将膨胀到2000多只。因此，非线性增长模式常常导致动物种群规模混乱地上升和低落。
事实上，理解混沌理论最好的方法之一便是不雅观察动物种群。假设方程 x_next = rx (1-x) 代表种群的增长。在这里，x_next 表示下一年的种群数量，x 表示现熟年份的种群数量；r 表示增长率，(1-x)表示使增长保持在一定范围内的成分：当 x 增加时，(1-x) 低落。在这里，种群数量被表示为0到1之间的一个分数，个中0代表灭绝，1代表物种可能达到的最大种群数量。如果种群数量在一年内低落到某一水平以下，那么明年就有可能增加。但是，如果种群数量增长过快，物种内部对资源的竞争就会趋向于将其限定在一定范围内。
经由多次初始颠簸后，总体将达到平衡。当r值很小时，种群逐渐灭绝。对付较大的r值，总体可能收敛于单个值。对付更大的值，它可能在两个值之间颠簸，然后是四个值，以此类推。但对付更大的值，统统都变得不可预测。代表种群函数的线，最初是单一的，然后分裂成两个、四个...... 然后进入混沌。这种情形的种群数量-r曲线产生了有趣的结果。
当r在0和1之间时，种群终极灭绝。在 r = 1 到 r = 3 之间，种群数量收敛到单一值。在r = 3.2旁边时，图分叉（分成两个），由于在r的这个值处，种群数量不收敛于单个值，而是在两个值之间颠簸。r值越大，分岔速率越快；在连续的周期翻倍之后，图像很快变得混沌。这意味着，对付r的相应值，种群数量在随机值之间不可预测地颠簸，从不表现出周期性行为。然而，仔细不雅观察会创造，在混沌部分之间的某些点时，图会变得可预测。这些可以被称为“混沌中的秩序之窗”。在最初的混沌行为之后，混沌溘然消逝，留下一个稳定的三周期。然后连续更加——6, 12, 24，再次进入混沌状态…...图中的混沌行为实际上是分形的。它展示了在植物和动物种群调节的大略模型中固有的非线性如何导致混沌的行为。
超过某一点，周期性就会让位给混沌，颠簸根本就不会稳定下来。图中的全体区域都被完备遮住了。如果你连续不雅观察一个由这种最大略的非线性方程组支配的动物种群，你会创造，繁芜性被隐蔽为随机性。然而，繁芜性并不虞味着随机性。对付动物种群数量的每一个猖獗的、不可控的变革，我们不雅观察到有持续串的事宜年复一年地涌现。纵然参数在上升，这意味着非线性推动系统越来越难，但会溘然涌现一个具有固定周期的窗口：一个奇数周期，如3或7。种群数量变革的模式在3年或7年的周期中重复涌现。然后，周期更加的分叉以更快的速率重新开始，迅速通过3、6、12......或7、14、28......的周期，然后再次中断，重新进入混沌。
种群分岔图
放大后可以看到，上图中的混沌部分无休止地重复着同样的模式。分形是永无止境的。分形是无限繁芜的斑图，在不同的尺度上具有自相似性。它们是通过在一个持续的反馈循环中不断重复一个大略的过程而产生的。从实质上讲，分形是一种永久重复的斑图，分形的每一部分，无论你如何放大，或缩小，它看起来都与全体图像非常相似。在递归的驱动下，分形是动态混沌系统的图像——它是混沌的图片。正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）所说，"这是一种看待无限的办法"。
经由调查，数学家米歇尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）创造，当他用每个分岔段的宽度除以下一个分岔段的宽度时，它们的比率会收敛到一个常数，被称为费根鲍姆常数，即4.6692016090。对付所有的分叉图，无论他利用什么函数，这个数字都是一样的。尺度是关键。费根鲍姆认为，（超过不同范围的）尺度是理解湍流等繁芜征象的关键。费根鲍姆提出了一种称为周期倍增的情形来描述规则动力学和混沌之间的转变。他的建议是基于1976年生物学家罗伯特·M·梅（Robert M. May）提出的 logistic 映射，梅在研究动物种群的繁荣与冷落模式时创造了分岔。
随着韶光的推移，繁芜性的规则也被证明是普遍的，并适用于所有的动力系统，不管它们的组成部分是什么。这种行为可以通过一个大略的系统不雅观察到，比如水龙头滴水。最初，水会一滴一滴地落下。随着水流的加速，它会成对地滴落，以此类推，然后它遵照一种混沌的行为。这种类型的行为适用于无数的混沌系统——从滴水到非常繁芜的曼德布洛特凑集。混沌无处不在。
4.3 曼德布洛特凑集和混沌理论
出生于波兰的法裔美国人伯努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）是一位对实用科学有广泛兴趣的博学者。现在人们对分形几何的兴趣很大部分是他的功劳。他展示了分形如何在数学和自然界中呈现。事实上，分形已经被用来描述经济、金融、股票市场、天文学和打算机科学的各种行为。他在分形几何学上的贡献为他赢得了“分形之父”的称号。
1961年，曼德布洛特在美国纽约州约克城高地托马斯·J·沃森研究中央担当研究科学家。作为一名尚未找到自己专业定位的年轻聪明学者，曼德布洛特正是那种IBM招聘时所渴求的特立独行的知识分子。招聘任务很大略：IBM参与了通过电话线传输打算机数据的事情，但一种白噪声不断滋扰信息流，毁坏旗子暗记。IBM希望曼德布洛特能对这个问题供应一个新的视角。
从孩提时期起，曼德布洛特就习气在视觉层面思考问题，以是他没有利用现成的剖析技能，而是本能地从白噪声产生的形状角度来研究它——这是IBM当今著名的数据可视化实践的早期形式。湍流的曲线图很快揭示了一个奇特的特色。无论图表的规模如何，无论它代表的是一天、一小时或一秒的数据，滋扰的模式都惊人地相似。有一个更大的构造在起浸染：一段韶光的无误旗子暗记，紧接着便是一段韶光的缺点旗子暗记。曼德布洛特创造了偏差爆发和清晰传输空间之间同等的几何关系。传输偏差就像韶光排列的康托集（Cantor set）。他将这种变革分为两种效应，他称之为“诺亚效应”（Noah Effect）和“约瑟效应”（Joseph Effect）。
康托集
诺亚效应意味着不连续性：当一个数量发生变革时，它险些可以任意地快速变革。经济学家们传统上认为，价格的变革是平稳的——快速或缓慢，视情形而定。但平稳的意思是，它们在从一个点到另一个点的过程中经由了所有的中间水平。这种运动的观点是从物理学中借来的，就像运用于经济学的许多数学一样。但这是缺点的。价格的变革可以是瞬间的跳跃，就像一条在电传电报上闪现和一千个股票经纪人可以改变他们的主张一样迅速。曼德布洛特认为，如果假定股票在从60美元跌至10美元过程中的某一时候必须以50美元的价格出售，那么这条股市策略注定要失落败。
约瑟效应意味着持续性。埃及各处必来七个大丰年，随后又要来七个荒年。当然如果《圣经》用它来隐喻周期性的话是过于简化的。但大水和干旱确实持续存在。只管存在潜在的随机性，但一个地方遭受干旱的韶光越长，它就越有可能遭受更永劫光的干旱。此外，对尼罗河的数学剖析表明，这种持久性持续了几个世纪，乃至几十年。诺亚效应和约瑟夫效应推动着不同的方向，但它们加起来便是：自然界的趋势是真实存在的，但它们来的快去的也快。
曼德布洛特后来将把稳力转向丈量海岸线。英国的海岸有多长？根据曼德布洛特的说法，答案取决于人们利用的尺子。据他说，海岸线无限长。一幅图画在他的脑海中形成，但它是朦胧的。微不雅观天下和宏不雅观天下之间有一种斑图联系。当从上面放大或缩小时，岩石海岸的粗糙程度看起来是一样的。曼德布洛特逐渐认识到，大自然方向于在不同的丈量维度上重复它的模式。
1945年，曼德布洛特的叔叔向他先容了朱利亚（Julia）1918年的主要论文，认为这是一篇精品，可以延伸出许多有趣的问题，但曼德布洛特并不喜好它。事实上，他对他叔叔提出的建议十分抗拒，由于他以为自己对数学的全体态度与他叔叔的态度是完备不同的。相反，曼德布洛特选择了属于他自己的非常不同的学术路线，然而，这条路线又让他回到了朱利亚的论文。
在加斯顿·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）之前的事情根本上，曼德布洛特利用打算机绘制朱利亚集的图像。通过研究这些朱利亚集的拓扑构造、棉花价格的模式、电子传输噪音的频率和河流大水的重复，曼德布洛特认识到，自然系统中的不规则模式有一种自我相似性。存在一种超过尺度的对称性——斑图中还有斑图。
曼德布洛特在加斯顿·朱利亚的事情根本上进行研究。朱利亚集分形常日是通过初始化一个复数 z = x + yi 产生的，个中x和y是图像像素坐标，范围约为-2至2。经由无数次的迭代，如果z小于2，我们就说这个像素是在朱利亚集里，并相应地给它上色。对全体像素网格进行这样的打算就可以得到一个分形图像。
曼德布洛特将c的值设置为 x + yi，个中x和y是图像坐标（也用于初始z值）。这就产生了曼德布洛特凑集。曼德布洛特凑集可以被认为是所有朱利亚凑集的映射，由于它在每个位置利用不同的c，就彷佛在空间中从一个朱利亚凑集转换到另一个朱利亚凑集。结果是一个形状笨拙的虫子一样的构造，至少可以说，这是令人困惑的。更主要的是，每一个小版本都比上一个版本包含了更多繁芜的细节。这些构造并不完备相同，但总体形状惊人地相似，只是细节不同。事实证明，这些细节的详细程度只受限于打算方程的机器的能力，而类似的形状可以永久持续下去——在无限的尺度上揭示越来越多的细节。这是一个确定的几何形状，它的粗糙度是有规则和参数的，但它是一种先前未被科学界所识别的几何形式。
曼德布洛特凑集
曼德布洛特于1979年提出了曼德布洛特集。1982年，曼德布洛特在《自然界的分形几何》中扩展并更新了他的不雅观点。在这本书中，曼德布洛特强调了自然界中许多分形物体的涌现。他举的最基本的例子是一棵树。他指出，从树干到树枝等树的每个部分都非常相似，但也有细微的差异，这为整棵树的内部运作供应了越来越多的细节、繁芜性和洞察力。虔诚于他的学术根源，曼德布洛特基于这些自然实例提出了健全的数学理论和系统，他新创造的“分形几何”便是基于此。
5.混沌理论举例
分形斑图无处不在：在数学、工业、股票市场、景象科学、星系、树木，乃至在电影和游戏中也有分形的存在。事实上，多分形图案已经在量子领域被创造——在扫描隧道显微镜的原子级分辨率下，材料从金属向绝缘体的突变中，与单电子干系的波呈现了明显的多分形图案。让我们来看看我们在自然界创造的一些最令人惊异的混沌模式。
5.1 木星上的大红斑
木星的红斑是混沌研究中的一件艺术品。大红斑是木星南半球的一场风暴，它的赤色云层以逆时针方向旋转，风速超过地球上的任何风暴。地球上的飓风是由水分凝集成雨时开释的热量驱动的，但红斑并不是。地球上的飓风以气旋方向旋转，在赤道上方逆时针旋转，在赤道下方顺时针旋转，就像所有地球上的风暴一样。比较之下，红斑的旋转是反气旋的。而且最主要的是，飓风在几天内就会消亡。但自1831年9月5日以来，人们一贯能不雅观察到大红斑。这个斑点是一个受湍流调节的自组织系统，混沌中稳定的抵牾组合创造了这个强大的风暴，这彷佛没有尽头。
木星大红斑
5.2 人体
从主动脉到毛细血管，人体的血管形成了另一种连续体：它们分支，分裂，再分支，直到变得非常狭窄，以至于血细胞被迫单列移动。它们分支的实质是分形的。
肺是自然分形器官的一个极好的例子。一对人类肺的体积只有4-6升，但其表面积却能达到在50-100平方米。肺的表面积与容积比非常高，它对人体非常主要。是肺的分形构造使其具有这样的特色，从气管到分支顶真个肺泡一共有11个分支。分形分支几何供应了一种使非常大的表面积变得非常紧凑的方法。在这种情形下，身体里的每个细胞都必须非常靠近血管才能得到氧气和营养（100微米以内）。血管的分形分支系统可以达到直径约为8微米的程度，这也便是毛细血管的宽度。人体的血管长度可达15万公里旁边，由于人体组织每毫米约有250个毛细血管，而毛细血管的均匀长度约为600微米。
同样地，大脑的神经元也拥有分形模式。人脑由大约1000亿个神经元组成，这些神经元之间有大约100万亿个突触或连接，均匀每个神经元可能要在同一韶光与大约1000个细胞沟通。轴突伸出来与其他神经元的树突进行突触连接。正是神经元的轴突和树突的分形分支模式使它们能够与如此多的其他细胞互换。
事实上，癌症物质的分形维度要高于康健细胞的分形维度。乔治·华盛顿大学数学和工程系兼职教授艾伦·彭（Alan Penn）描述了他在这一领域的事情：核磁共振乳腺成像可能改进对400万名乳房X光检讨无效的高危妇女的诊断。核磁共振成像的临床运用的困境是难以诊断哪些肿块是良性的，哪些是恶性的。研究的重点是开拓强大的分形维度估计，这将改进良性和恶性乳房肿块之间的区分。
自然界中所有动物的身体构造都是分形的，它们的行为乃至韶光也是分形的。我们的心跳看起来规律而有节奏，但当仔细不雅观察计时构造时，就会创造它有非常轻微的分形。这非常主要：我们的心跳并不是规律的，而是有主要的眇小变革。这种细微的变革大大减少了心脏的磨损。就像自相似树的树枝一样，康健人的心跳在统计上也是自相似的。此外，心脏病可以通过极度和无节奏的分形行为来检测。
5.3 自然界中的分形
分形图案在大自然中随处可见。树木是天然的分形斑图，这些斑图重复着越来越小的“复制品”，创造了森林的生物多样性。每根树枝，从树干到树梢，都是之前那根树枝的副本。这是一个基本原则，我们在自然界全体自然系统的有机生命形式的分形构造中会反复看到。
花朵、蕨类植物、树叶、河道、闪电、雪花是自然界分形的一些例子。Romanesco Broccoli 是花椰菜的变种，是一种极具分形的蔬菜。它的斑图是斐波那契数列或黄金螺旋的自然表示，这是一种对数螺旋，每四分之一转间隔原点的间隔都是黄金比例的一个因数。
斐波那契数列是自然界中常见而俏丽的数字模式，它创造了黄金比例。蕨类植物是自相似凑集的一个常见例子，这意味着它们的模式可以在任何放大或缩小的情形下用数学方法天生和复制。描述蕨类植物的数学公式以迈克尔·巴恩斯利（Michael Barnsley）的名字命名，是第一个表明混沌实质上不可预测、但常日遵照基于非线性迭代方程的确定性规则的数学公式之一。换句话说，利用Barnsley的蕨类公式反复天生的随机数终极产生了一个独特的蕨类形状的物体。许多植物在天生分枝形状和叶型时遵照大略的递归公式。
各种分形的例子
河流三角洲在实质上也趋向于分形；纵然在天空中，基于卫星图片的剖析也表明，从数百英里外不雅观测到的云具有不变的分形维数；闪电不是直线传播的，而是遵照混沌的行为。闪电可以非常大，超过数英里，但它在微秒内就可以形成；雷声是分形的声音，是由空气过热引起的。由于闪电的路径在3D空间中是一个锯齿形的分形，它到达我们耳朵所需的韶光是不同的，因此我们听到的声音是一个分形模式。
星系是已知的最大的螺旋分形中例子。一个螺旋星系可能包含一万亿颗恒星。旋臂并不包含更多的恒星，但是，旋臂仍旧更亮，由于它们包含许多由恒星形成的旋转螺旋波形成的生命短暂的极亮恒星。恒星形成的波之以是可见，是由于它们包含许多年轻的、非常通亮的恒星，它们的寿命很短，可能只有1000万年，而比较之下，更常见的恒星，如我们的太阳，寿命可达数十亿年。
6.量子混沌
量子混沌描述并试图理解原子和分子中电子的波状运动的实质（量子力学），以及电磁波和声学等。在一定程度上，这些波就像经典力学中粒子的混沌轨迹，包括光学仪器中的光芒和繁芜容器中的声波。量子混沌的研究包括动力学系统理论在量子体系中的运用。
“我们在日常生活中所经历的宏不雅观天下是如何从肉眼看不见的微不雅观天下中显现出来的？”这个问题，和科学本身一样古老。在过去的100年里，理解支配“宏不雅观天下的经典力学是如何从支配微不雅观天下的量子力学中衍生出来的”这一命题变得越来越主要。虽然科学界已经取得了巨大的进步，但仍旧存在许多令人困惑的问题。混沌的涌现很可能是量子天下和现实天下之间的共同连接。
量子混沌研究的核心目标是描述量子系统的普遍特性，这些特性反响了根本经典动力学的规则或混沌特色。研究职员已经不雅观察到，经典混沌的后一种普遍属性与量子混沌的普遍光谱颠簸特色密切干系。
量子混沌最初是试图在量子力学系统中找到混沌，即对初始条件变革的极度敏感性。这一考试测验失落败了，由于人们终极意识到，这种敏感性并不存在。然而，在此过程中，人们创造混沌（或缺少混沌）以其他办法反响在量子系统中。
量子混沌的一个迷人特色是，它揭示了非常不同的物理系统在行为上的大量普遍性。例如，在强多重散射问题中创造的声波强度、被称为瑞利分布（Rayleigh）的概率密度、中子从中重核散射的截面中的埃里克森颠簸、以及在混沌或无序的量子点中创造的电导率颠簸，都可以被视为拥有一个共同的基本统计构造。因此，人们能够看到系统之间的基本相似之处，否则这些每每会被忽略。普遍性意味着对一个别系的统计特性的许多方面缺少敏感性，即缺少某些种类的信息。此外，量子混沌把许多不相关的、看似不相关的观点，即经典混沌、半经典物理学和渐进方法、随机矩阵组合、路径积分、量子场论、安德森局域性，以意想不到的办法联系起来。
因此，看到量子混沌在许多领域的运用就不足为奇了。这些领域包括：（1）中核和重核中的低能质子和中子共振；（2）弹道量子点；（3）介不雅观无序电子导体；（4）非阿贝尔规范场背景下的Dirac谱；（5）原子和分子光谱；（6）里德堡原子与分子；（7）微波驱动原子；（8）超冷原子和光学晶格；（9）光学谐振器；（10）晶体中的声学和在海洋中远间隔传播的声学；（11）黎曼ζ函数和广义L-函数；（12）退相关性和保真度研究。还有很多其他的例子。
受击陀螺系统中的量子混沌
7.混沌理论与意识
意识是一种呈现属性。正如神经科学家 David Eagleman 在他的书《大脑：你的故事》中阐明的那样，不雅观察意识最得当的办法不是关注各个部分，而是关注各个部分之间的相互浸染。人类大脑中数百万个神经元中的一个神经元本身就足够大略。它以一种完美的、可预测的办法实行其功能，即神经递质通过突触发送旗子暗记。通过不雅观察单个神经元来理解作为一个别系的意识是不可能的。主要的是神经元之间繁芜的相互浸染。每个神经元实行自己的大略功能；但是，在数百万个神经元之间的这种大规模的相互浸染，产生了单个神经元无法阐明的东西：意识。
我们可以说，意识与人类大脑等分布式互动的繁芜性有关。人脑的功能构造本身便是一个分形反馈循环：分形大脑产生分形意识。人类的意识与中枢神经系统的电旗子暗记密切干系。如果大脑中没有电活动，你就会失落去意识，乃至去世亡。当意识涌现时，大脑活动的熵会增加，而分形是高熵的，这也是一些研究职员认为我们的意识是分形的缘故原由之一。其次，我们的中枢神经系统掌握着我们身体和精神的大部分功能，它与分形有很多联系：第一，中枢神经系统的构造是分形的；第二，中枢神经系统的旗子暗记也是分形的。
哲学家 Kerri Welch 通过韶光和影象的镜头，以更全面的办法看待意识。“我认为意识是一个韶光上的分形。我们每时每刻都在吸收无限多的数据，每次我们压缩处理这些数据的过程都是一次尺度上的飞跃。”Welch认为，感知韶光不是一个线性的过程，而是一个“分层”过程，也便是一个分形。她认为这种“分形”会随着我们的变革而变革：例如，婴儿只生活在当下，不分割韶光，肯定不会像成年人这般体验韶光。这便是为什么对婴儿来说，大脑的δ波状态——类似于成年人在深度就寝中看到的——占主导地位。随后，当我们发展到童年期间，我们开始看到更快的脑电波，θ脑电波……然后是α脑电波，末了是进入青春期后的β脑电波。这种对韶光的分层理解与我们如何越来越多地将韶光分割成越来越小的部分相对应。与此同时，“我们内部的密度也在增加。随着年事的增长，我们会发生转变，接管周围的繁芜性，并在内心重新创造它。我们内部的分形维数——即内部密度——正在增加。”
哈佛大学医学院的心脏病专家 Ary Goldberger 说得好：“我们实质上是分形的，这可能会导致你认为是我们将分形投射到天下上的，然后又看到它，并创造它很熟习。”以是，当我们不雅观察和创造艺术，当我们决定什么是高等艺术时，我们实际上只是在回看我们自己吗？创造在某种程度上是再创造吗？”
本文翻译自 projectnile.in.
文章题目：
The Mathematical Beauty of Patterns in Chaos Theory
文章链接：
https://projectnile.in/2021/06/06/quantifying-the-patterns-of-chaos/
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来源：集智俱乐部
编辑：圆周π小姐
